Destaques

Proposições simples e compostas, classificação das proposições lógicas e operações lógicas.

Proposições simples e compostas




Uma proposição composta é formada por um conjunto de proposições simples que se ligam por conectivos lógicos.
Uma proposição simples apresenta somente uma ideia e diferentemente da composta não é ligada a nada por conectivos lógicos. Por fim o termo proposição é a forma de se descrever asserções, ou seja, descrever um conteúdo que somente pode ser tomado como verdadeiro ou falso.

Não se esqueça que sentenças como "Qual o seu nome ?" ou "Quantos anos você têm ?" não são proposições, pois como dito anteriormente não é possível atribuir um valor lógico a essa sentença.

Este artigo foi escrito com o intuito de esclarecer como as proposições são categorizadas, assim como a identificação de proposições e conectivos lógicos em sentenças. Utilizando-se tabelas verdade (tabela usada em matemática para determinar se uma fórmula é válida ou não) e diagramas de Venn (diagramas utilizados na matemática para representação de conjuntos), pretende-se exemplificar o uso das proposições simples e compostas com o uso dos conectivos lógicos e conceitos importantes para a lógica como: paradoxos, equivalência lógica, tautologia e outros.


1. O que é uma proposição lógica ?

Proposição e conectivos lógicos

Segundo a wikipedia em lógica e matemática a álgebra das proposições, lógica proposicional ou mesmo cálculo sentencial é um sistema formal(sistema de pensamento abstrato bem definido em um modelo matemático) no qual as fórmulas representam proposições que podem ser formadas pela combinação de proposições atômicas usando conectivos lógicos e um sistema de regras de derivação.

A lógica proposicional tem como objetivo modelar o raciocínio humano, partindo de frases declarativas (proposições), ou seja, a lógica proposicional estuda como raciocinar com afirmações que podem ser verdadeiras (V) ou falsas (F).

Um conectivo lógico ou operador lógico é um símbolo ou palavra usado para conectar duas ou mais sentenças (tanto na linguagem formal quanto na linguagem natural) de uma maneira gramaticalmente válida. Lembre-se que um conectivo lógico é similar, mas não necessariamente equivalente, a um operador condicional.

Por fim uma proposição é um termo usado em lógica para descrever o conteúdo de asserções. Uma asserção é um conteúdo que pode ser tomado como verdadeiro ou falso.

Veja abaixo alguns exemplos de proposições lógicas:
  • Belo horizonte é a capital de Minas Gerais. (Verdade)
  • Belo Horizonte é a capital do Rio Grande do Sul. (Falso)
  • Buenos Aires é a capital da Argentina. (Verdade)
  • Brasília não é a capital do Brasil (Falso)
  • 3 + 4 = 7 (Verdadeiro)
  • 2 + 2 = 2 (Falso)
  • 1 < 2 (Verdadeiro)
  • 1 > 2 (Falso)
Veja abaixo alguns exemplos de sentenças que não são proposições lógicas, pois não é possível atribuir uma valor verdadeiro ou falso a elas.
  • Qual o seu nome ?
  • Em que cidade você mora ?
  • Olá!
  • Chegue mais perto!
  • x + y =  8
  • x > 8

    2. Proposição lógica simples.


    Proposição lógica simples


    Uma proposição lógica classificada como simples ou atômica apresenta apenas uma ideia, ou seja, é uma proposição singular que exprime uma ideia ou fato de forma completa. Outra definição seria a de ser aquela que não possui outra proposição integrante de si.

    As proposições simples comumente são representadas pelas letras minúsculas p, q, r, s, t, u, etc.

    Veja abaixo alguns exemplos de proposições simples versus proposições compostas e sentenças que não são proposições.
    • O culpado foi João. (Simples)
    • O culpado foi João ou José. (Composta)
    • Quem foi o culpado ? (Não é proposição)
    • Beatriz é chata. (Simples)
    • Beatriz é chata e Pedro é preguiçoso. (Composta) 


    3. Proposição lógica composta.


    Proposição lógica composta

    Uma proposição lógica classificada como composta é formada pela junção de duas ou mais proposições simples, essa junção é realizada através do conectivos lógicos.

    Os conectivos lógicos mais comuns, que serão estudados ao longo deste post, são os de:
    • Negação (não) (~)
    • Conjunção (e) (∧)
    • Disjunção (ou) (∨) 
    • Disjunção exclusiva (ou...ou) ()
    • Implicação ou condicional (se...então) (⇒)
    • Equivalência ou bicondicional (se e somente se) (⇔)
    Ao contrário da representação das proposições simples, as compostas geralmente são representadas pelas letras maiúsculas P, Q, R, S, T, U, etc.

    Veja abaixo alguns exemplos de proposições compostas com conectivos lógicos.
    • Irei viajar amanhã ou irei ao cinema.
    • Irei viajar e irei ao cinema.
    • Ou irei viajar amanhã ou irei ao cinema.
    • Se eu viajar amanhã então irei ao cinema hoje.
    • Irei viajar amanhã se e somente se eu for ao cinema hoje

    4. O que são paradoxos ?



    Segundo o dicionário do próprio google, a palavra paradoxo significa:
    1. Pensamento, proposição ou argumento que contraria os princípios básicos e gerais que costumam orientar o pensamento humano, ou desafia A opinião consabida, a crença ordinária e compartilhada pela maioria.
    2. Aparente falta de nexo ou de lógica; contradição.
    3. Raciocínio aparentemente bem fundamentado e coerente, embora esconda contradições decorrentes de uma análise insatisfatória de sua estrutura interna.
    O conceito de paradoxo que melhor se aplica a lógica proposicional é o terceiro significado, mas para exemplificar um pouco o que é paradoxo vamos relembrar o experimento imaginário proposto pelo físico austríaco Erwin Rudolf Josef Alexander Schroedinger conhecido como paradoxo de Schroedinger, cujo objetivo é mostrar como vigora no mundo quântico o Princípio da Incerteza. Segundo o site ultimosegundo uma explicação simplificada do experimento é:
    • Um gato é preso no compartimento de uma caixa; no outro compartimento, há uma pequena quantidade de substância radioativa. Se essa substância decair – isto é, se houver atividade radioativa – um veneno mata o gato. No entanto, você só saberá se o gato está vivo ou morto quando abrir a caixa. Até lá, ele estará em um estado “vivo morto”.
    O experimento mental de Schroedinger se trata de um paradoxo pois não é possível atribuir somente um valor verdadeiro ou falso para o gato. Apesar da explicação estar ligada a física os paradoxos também ocorrem com proposições lógicas e outras áreas de conhecimento. Veja os exemplos abaixo de paradoxos que ocorrem com proposições lógicas:

    • A mala é falsa. (Música de Filipe Araújo)
      • Supondo que a proposição seja verdadeira, então a mala é realmente falsa. Por outro lado supondo que a proposição seja falsa então a mala é verdadeira pois há uma contradição com relação a própria proposição.
    • Ele disse que é mentiroso.
      • Se ele é mentiroso então porque ele diria a verdade ? Perceba que neste se ele disse que é mentiroso falando a verdade ocorre uma contradição pois ele é mentiroso. Por outro lado se ele disse que é mentiroso falando uma mentira ele está afirmando que não é mentiroso mesmo falando uma mentira.


    5. Exemplo prático usando circuito lógico com proposições simples e compostas.


    Claude Shannon
    Com base na wikipedia e no material de Antonio Alfredo Ferreira Loureiro, Claude Elwood Shannon foi um matemático, engenheiro eletrônico e criptógrafo conhecido como "o pai da teoria da informação". Shannon observou a analogia entre operações de dispositivos de “chaveamento” (por exemplo, chaves ou interruptores) e operações de conectivos lógicos.

    Essa analogia foi usada com muito sucesso para resolver problemas de projetos de circuitos lógicos e os resultados foram apresentados na dissertação de mestrado de Shannon (A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits) no MIT em 1938.

    As proposições lógicas assim como a resolução de problemas relacionados a circuitos lógicos utilizam as tabelas verdade para determinar o valor lógico, verdadeiro ou falso, de um proposição composta.

    Para exemplificar imagine um cenário com duas chaves em um circuito que podem estar abertas ou fechadas, simultaneamente ou não. Continuando imagine que a abertura e fechamento das chaves do circuito impliquem em apagar ou acender uma lâmpada qualquer.

    Com estes cenários em mente, a pergunta que será respondida é: Qual a combinação de fechamento e abertura das chaves nos circuitos do cenário A (duas chaves em paralelo) e do cenário B (duas chaves em linha) terá como resultado a lâmpada acesa?

    Circuito lógico com tabela verdade

    A partir da década de 1940, relés eletromecânicos (chaves) foram substituídos por dispositivos eletrônicos como válvulas, transistores e circuitos integrados.

    Conclusões sobre o experimento da imagem acima:
    1. Nos exemplos da imagem acima os valores "fechada" e "acesa" podem ser substituídos por "verdadeiro" e os valores "aberta" e "apagada" podem ser substituídos por "falso" analogamente a representação de uma tabela verdade.
    2.  O cenário A corresponde a uma conjunção lógica (e) (∧), pois de acordo com a tabela é possível chegar as seguintes proposições lógicas: 
      1. "Chave P fechada e chave Q fechada acende a lâmpada" ( p ∧ q ).
      2. "Chave P fechada e chave Q aberta apaga a lâmpada" ( p ∧ q ). 
      3. "Chave P aberta e chave Q fechada apaga a lâmpada" ( p ∧ q ). 
      4. "Chave P aberta e chave Q aberta apaga a lâmpada" ( p ∧ q ). 
    3. O cenário B corresponde a uma disjunção lógica (ou) (∨) , pois de acordo com a tabela é possível chegar a seguintes proposições lógicas:
      1. "Chave P fechada ou chave Q fechada acende a lâmpada" (p ∨ q).
      2. "Chave P fechada ou chave Q aberta acende a lâmpada" (p ∨ q).
      3. "Chave P aberta ou chave Q fechada acende a lâmpada" (p ∨ q).
      4. "Chave P aberta ou chave Q aberta acende a lâmpada" (p ∨ q).



    6. Conectivo e operação lógica de negação com proposições simples e compostas.


    negação

    A operação lógica de negação basicamente inverte um valor lógico verdadeiro para falso e um valor falso para verdadeiro. Essa operação usa o conectivo de negação simbolizado por (~) ou (¬).

    Em lógica binária o valor verdadeiro é representado por (1) e o valor falso é representado por (0), então uma operação de negação sobre (1) resultaria em (0) e vice-versa.

    Para demonstrar a operação de negação veja abaixo um exemplo com uma proposição lógica simples.
    • Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais. (p)
      • Belo Horizonte não é a capital de Minas Gerais. (~p)
      • É falso que Belo Horizonte seja a capital de Minas Gerais. (~p)
      • Não é verdade que Belo Horizonte seja a capital de Minas Gerais (~p)
    Tabela verdae e conjunto de negação


    Para resolução de problemas que envolvam negação também é importante ter em mente a Tabela Verdade de negação e a representação da negação por Diagramas de Venn.

    É importante entender como ocorre a negação de proposições lógicas simples ou compostas que possuam as palavras "Todo",  "Algum" e "Nenhum". Um bom macete de acordo com o site estratégia concurso é imaginar qual o mínimo que deve ser feito para provar que o autor da proposição está mentindo.


    Para exemplificar veja as proposições simples abaixo com suas respectivas negações:
    1. Todo passarinho é azul. (p)
      1. Pelo menos um passarinho não é azul. (~p)
      2. Ao menos um passarinho não é azul. (~p)
      3. Algum passarinho não é azul. (~p)
      4. Existe um coelho que não é azul. (~p)
    2. Nenhuma girafa é amarela. (p)
      1. Alguma girafa é amarela. (~p)
      2. Ao menos uma girafa é amarela. (~p)
      3. Pelo menos uma girafa é amarela. (~p)
      4. Existe uma girafa amarela. (~p)
    3. Algum jacaré é verde. (p)
      1. Nenhum jacaré é verde. (~p)
      2. Todo jacaré não é verde. (~p)
      3. Não existe jacaré verde. (~p)
    4. Algum urso polar não é branco. (p)
      1. Todo urso polar é branco. (~p)

    Outra dica importante do site estratégia concursos é se lembrar que uma sentença com a palavra  "nenhum ou nenhuma" não é a negação de uma sentença com a palavra "todos". Sempre lembre-se que a regra de negação diz que para uma proposição ser a negação de outra ou seus valores sempre serão opostos. Para exemplificar veja as sentenças abaixo.
    • Todo coelho é branco.
    • Nenhum coelho é branco.
    • Biólogos descobrem um coelho preto.
    Pelo exemplo acima percebemos que com o descobrimento de um coelho preto a primeira e segunda sentenças se tornam falsas. Tendo em mente a regra: uma proposição negada deve ter sempre um valor lógico oposto a da proposição não negada.

    Também é muito comum se deparar com problemas em que é necessário saber qual a negação de uma conjunção ou de qualquer outra sentença que envolva uma proposição lógica composta. Segundo a wikipedia e o site revistabw:

    Augustus De Morgan foi um matemático e lógico britânico que formulou as Leis de Morgan. Os teoremas do matemático De Morgan são propostas de simplificação de expressões em álgebra booleana que definem regras usadas para converter operações lógicas OU em E e vice versa.
    • Primeira Lei.
      • A negação de uma conjunção entre duas proposições é igual a disjunção da negação de cada proposição e vice-versa, ou seja, negar duas proposições simples com conjunção "e" corresponde a negar cada proposição simples separadamente ligando-as por disjunção "ou" e vice-versa.
      • ~(p∧q) corresponde a ~p∨~q
    • Segunda Lei
      •  As Segundas Leis de Morgan permitem-nos efetuar a negação de proposições com quantificadores (universais e existenciais).
    Para finalizar a esta parte é importante saber que a duas proposições lógicas são equivalentes sempre que possuírem o mesmo valor lógico. Este conceito de equivalência é muito importante pois a negação de uma negação de uma proposição simples equivale logicamente a própria proposição sem negação. Veja os exemplos abaixo:
    • Este livro é de alguém. (p)
    • Este livro é de ninguém. (~p)
    • Este livro não é de ninguém. ~(~p)
    Negação de negação



    7. Conectivo e operação lógica de conjunção com proposições simples e compostas.

    A operação lógica de conjunção somente é usada quando há duas ou mais proposições lógicas simples, ou seja, uma proposição lógica composta. Esta operação é simbolizada por  (∧) e segundo o dicionário online do google significa:
    • Conexão entre duas ou mais sentenças, formando uma unidade que somente será verdadeira se todas as proposições isoladas que a compõem também forem verdadeiras.
    Em uma sentença sabemos quando há a ocorrência de uma conjunção(lógica proposicional) quando duas proposições estão ligados pela conjunção aditiva (gramática) "e". Para exemplificar veja a imagem abaixo com uma proposição formada por duas proposições simples e outra formada com três proposições simples.
    • João joga futebol e joga basquete. (p∧q)
    • João joga futebol e joga basquete e joga vôlei. (p∧q∧r)
    Conjunção tabela verdade conjuntos

    Perceba que em uma operação de conjunção a proposição composta somente será verdadeira quando todas as proposições simples forem verdadeiras e também perceba que a conjunção corresponde aos elementos da interseção de dois conjuntos.


    8. Conectivo e operação lógica de disjunção com proposições simples e compostas.

    Assim como a operação lógica de conjunção, a operação de lógica de disjunção também é usada quando há duas ou mais proposições lógicas simples, ou seja, uma proposição lógica composta. Esta operação é simbolizada por  (∨) e segundo o infopedia significa:
    • Sistema proposicional que tem o valor lógico verdade, se – e só se – uma, pelo menos, das proposições dadas tem esse valor.
    Em uma sentença sabemos quando há a ocorrência de uma disjunção(lógica proposicional) quando duas proposições estão ligados pela conjunção conjuntiva (gramática) "ou". Para exemplificar veja a imagem abaixo com uma proposição formada por duas proposições simples e outra formada com três proposições simples.
    • João joga hóquei ou joga rugby. (p∨q)
    • João joga hóquei ou joga rugby ou joga beisebol. (p∨q∨r)
    Disjunção tabela verdade conjuntos


    A operação de disjunção corresponde a operação de união de conjuntos e ao contrário do que ocorre na conjunção, uma proposição composta será verdadeira com apenas uma das proposição simples sendo verdadeira.


    9. Implicação ou conectivo condicional com proposições simples e compostas.

    O condicional também é conhecido como condicional material, implicação material ou mesmo condicional funcional de verdade, que têm como símbolo (⇒ ou →) e segundo o site central de favoritos significa que:
    • A proposição condicional “se p então q” é uma proposição composta que só admite valor lógico falso no caso em que a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, sendo verdade nas demais situações.

    Em uma sentença sabemos quando há a ocorrência de um condicional (lógica proposicional) quando duas proposições estão ligadas pela conjunção subordinativa(gramática) "se", mas o mais comum é a conjunção "se" vir acompanhada do advérbio "então". Veja os exemplos abaixo que mostram como o condicional pode aparecer nas proposições lógicas.
    • Se o meu time ganhar então vou comemorar. (p→q)
    • Vou comemorar se meu time ganhar. (p→q)
    • Quando meu time ganhar, vou comemorar. (p→q)
    • Meu time ganhar implica em comemorar. (p→q)
    Pouco usual mas também pode ser encontrado em proposições condicionais o uso de suficientemente e necessariamente, como nos exemplos baixo.
    • Se nasci em Belo Horizonte suficientemente sou de Minas Gerais.
    • Se sou de Minas Gerais necessariamente nasci em Belo Horizonte.
    Aprofundando um pouco mais, perceba que que para a proposição condicional "Se o meu time ganhar então vou comemorar" existem quatro possibilidades que  também pela tabela verdade serão demonstradas na imagem abaixo das possibilidades.
    • Meu time ganhou e comemorei.
    • Meu time ganhou e não comemorei.
    • Meu time não ganhou e comemorei.
    • Meu time não ganhou e não comemorei.
    Condicional tabela verdade conjuntos

    Por fim podemos ver condicional lógica uma proposição composta condicional será falsa somente quando a primeira proposição simples for verdadeira e a segunda falsa.

    Comentários