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Exercícios de proposições simples e compostas resolvidos

Exercícios proposições simples e compostas









Exercício 1 - Negação de proposição composta com conectivo de conjunção.


#   Ano: 2017 / Banca: FCC / Órgão: TRT24 (MS)

Uma afirmação que corresponda à negação lógica da afirmação: todos os programas foram limpos e nenhum vírus permaneceu, é:
A) Se pelo menos um programa não foi limpo, então algum vírus não permaneceu.

B) Existe um programa que não foi limpo ou pelo menos um vírus permaneceu.

C) Nenhum programa foi limpo e todos os vírus permaneceram.

D) Alguns programas foram limpos ou algum vírus não permaneceu.

E) Se algum vírus permaneceu, então nenhum programa foi limpos.





Resolução exercício 1

#   Parte 1 - O primeiro passo para resolver este problema é a identificação das proposições e conectivos lógicos. Perceba que este problema possui duas proposições simples e um conectivo lógico de conjunção.
  • (p∧q)
    • Todos os programas foram limpos. (p)
    • Nenhum vírus permaneceu. (q)
    • e (∧)

#   Parte 2 - Antes de iniciar a resolução do problema é necessário lembrar-se da primeira lei de Morgan e do macete de negação descrito no post "Proposições simples e compostas, classificação das proposições lógicas e operações lógicas." para proposições que contenham as palavras "Todo", "Algum" e "Nenhum".
  • Primeira Lei de Morgan
    • A negação de uma conjunção entre duas proposições é igual a disjunção da negação de cada proposição e vice-versa, ou seja, negar duas proposições simples com conjunção "e" corresponde a negar cada proposição simples separadamente ligando-as por disjunção "ou" e vice-versa. ~(p∧q) corresponde a ~p∨~q
  • Imaginar qual o mínimo que deve ser feito para provar que o autor da proposição está mentindo e uma sentença com a palavra  "nenhum ou nenhuma" não é a negação de uma sentença com a palavra "todos".
    • Todo cachorro é marrom. (p)
    • Pelo menos um cachorro não é marrom. (~p)
    • Nenhuma andorinha é amarela. (q)
    • Alguma andorinha é amarela. (~q)
    • Algum papagaio é verde. (r)
    • Nenhum papagaio é verde. (~r)

#   Parte 3 - Aplicando-se a primeira lei de Morgan perceba que a negação da proposição (p∧q) é igual ~(p∧q) que é igual a (~p∨~q).


#   Parte 4 - Com a proposição não p ou não q (~p∨~q) e lembrando-se do macete descrito na parte 2 chegamos a seguinte conclusão.

  • A negação de "Todos os programas foram limpos" é "Existe um programa que não foi limpo" ou "Existe algum programa que não foi limpo"", pois a negação de todos não é "nenhum ou nenhuma" conforme o macete e um ou algum representa o mínimo para negar todos.
  • A negação de "Nenhum vírus permaneceu" é "Algum vírus permaneceu" ou "Pelo menos um vírus permaneceu.", pois o mínimo para negar a proposição com nenhum é algum ou um.
  • A negação da conjunção "e" é a disjunção "ou" aplicando-se a primeira Lei de Morgan.
  • Unindo-se as proposições simples com o operador lógico chegamos na sentença: "Existe um programa que não foi limpo ou pelo menos um vírus permaneceu." que corresponde alternativa D do exercício, ou seja, a resposta do exercício.
Para exemplificar veja a tabela verdade abaixo que demonstra a equivalência lógica entre ~(p∧q) e (~p∨~q).

Tabela verdade equivalência primeira lei de Morgan


#   Dica - Já na identificação do operador lógico de disjunção é possível eliminar as alternativas A, C e E pois a letra A trata-se de uma condicional, a letra C de uma conjunção cuja negação não corresponde a ~(p∧q) e alternativa E trata-se de outra condicional. Para treinar ajudar a fixar as tabela verdade de cada operação lógica resolva as questões do post "Tabela verdade exercícios resolvidos com gabarito".




Exercício 2 - Proposições compostas com operações de disjunção e condicional e diagrama lógico.


#   Ano: 2016 / Banca: FCC / Órgão: Copergás - Pernambuco

Se Maria é economista, então Jorge é contador. Se Luiza é administradora, então Jorge não é contador. Se Luiza não é administradora, então Norberto é engenheiro. Sabe-se que Norberto não é engenheiro. A partir dessas informações é possível concluir corretamente que:


A) Luiza é administradora ou Maria é economista. 

B) Maria é economista ou Jorge é contador. 

C) Jorge é contador e Norberto não é engenheiro.

D) Maria não é economista e Luiza não é administradora.

E) Jorge não é contador e Luiza não é administradora. 


Resolução exercício 2

#   Parte 1 - Para resolver este exercício o primeiro passo é identificar as pessoas(Luiza, Maria, Jorge e Noberto) e profissões (Economista, Contador, Administrador e Engenheiro) envolvidas nas proposições que queremos analisar. Em seguida um diagrama de Profissões X Pessoas é montado e na coluna do Noberto com a linha de Engenheiro atribui-se o valor F correspondente a falso visto que o exercício diz: "Noberto não é engenheiro". Por fim com base na tabela que montamos é possível resolver as proposições para acharmos a alternativa correta.


Diagrama pessoas x profissões parte 1 exercício 2


#   Parte 2 - Nesta etapa sabemos apenas o valor lógico da proposição simples relacionada a Noberto. Para prosseguirmos com o exercício é necessário avaliarmos alguma outra proposição relacionada a Noberto já que ele é o nosso ponto de partida. Sabemos que Noberto não é engenheiro e por causa disto é possível afirmar que Luiza é administradora visto que para Luiza não ser administradora Noberto necessariamente teria que ser engenheiro. Também sabendo-se que Luiza é administradora é possível afirmar que Luiza não economista, nem contadora nem engenheira e que Maria e Jorge não podem ser administradores.

Diagrama pessoas x profissões parte 2 exercício 2


#   Observação: Neste tipo de exercício cada pessoa x profissão possui somente um valor lógico visto que trata-se de problemas de lógica e conforme o artigo sobre proposições simples e compostas um proposição assume somente um valor lógico.


#   Parte 3 - Como Luiza é administradora a proposição de que Jorge não é contador é verdadeira.

Diagrama pessoas x profissões parte 3 exercício 2

#   Parte 4 - Para finalizar o diagrama chegamos a conclusão que Maria não é economista já que Jorge não é contador. 

Diagrama pessoas x profissões parte 4 exercício 2

#   Parte 5 - Mesmo o diagrama estando cheio de lacunas ele será a base para resolvermos as alternativas da questão, pois os valores lógicos do diagrama de pessoas x profissões nos indicarão os valores lógicos das proposições compostas em cada alternativa. A resposta correta a letra A conforme resolução na imagem abaixo.

Resolução das proposições a partir do diagrama lógico parte 5 exercício 2

#   Observação: A operação lógica realizada em cada alternativa da questão foi realizada já tendo-se em mente as tabelas verdade de conjunção e disjunção. Para treinar e decorar as tabelas é interessante resolver os exercícios propostos no post sobre exercícios envolvendo tabelas verdade.

Comentários

  1. Afinal, aa alternativa correta é A, B ou D? pois cada parte do exercício diz algo diferente.

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    Respostas
    1. A letra A está errada pois se trata de uma condicional, ou seja, não condiz com a primeira lei de Morgan. (p∧q) é igual ~(p∧q) que é igual a (~p∨~q), pois de acordo com a lei, a negação da conjunção é a disjunção.

      A letra D está errada pois segundo o macete, o mínimo para negar todos é "algum" ou até mesmo a variação "existe um" que é o mesmo que dizer algum, mas perceba que na letra D apesar do uso da palavra "Alguns" está no plural e não corresponde ao mínimo, mas sim a um conjunto maior que o mínimo. Por isto a letra D está errada.

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    2. Percebi que me esqueci de colocar no botão Resposta a letra B e erroneamente está aparecendo a letra A. Desculpe-me pelo meu erro.

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    3. Resolvido a questão do botão. Obrigado pela contribuição.

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